与えられた2階微分方程式 $y'' = a\sqrt{1 + (y')^2}$ の一般解を求める問題です。ここで、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた2階微分方程式 $y'' = a\sqrt{1 + (y')^2}$ の一般解を求める問題です。ここで、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

1. まず、$y' = p$ とおきます。すると、$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$ となります。

2. 与えられた微分方程式は、$p \frac{dp}{dy} = a \sqrt{1 + p^2}$ となります。

3. この式を整理し、変数分離します。

$\frac{p}{\sqrt{1+p^2}} dp = a dy$

4. 両辺を積分します。

$\int \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} dp = \int a dy$

5. 左辺の積分は、$u = 1 + p^2$ と置換すると、$du = 2p dp$ となり、$\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} = \sqrt{1+p^2}$ となります。右辺の積分は $ay + C_1$ となります。したがって、

$\sqrt{1 + p^2} = ay + C_1$

6. $p$ について解きます。

$1 + p^2 = (ay + C_1)^2$

$p^2 = (ay + C_1)^2 - 1$

$p = \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{(ay + C_1)^2 - 1}$

7. さらに変数分離します。

$\frac{dy}{\sqrt{(ay + C_1)^2 - 1}} = \pm dx$

8. 両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{\sqrt{(ay + C_1)^2 - 1}} = \pm \int dx$

9. 左辺の積分は、置換積分を用いて解きます。$ay + C_1 = \cosh(t)$ と置くと、$a dy = \sinh(t) dt$。

$\int \frac{dy}{\sqrt{(ay + C_1)^2 - 1}} = \int \frac{\sinh(t)}{a \sqrt{\cosh^2(t) - 1}} dt = \int \frac{\sinh(t)}{a \sinh(t)} dt = \int \frac{1}{a} dt = \frac{t}{a} = \frac{1}{a} \cosh^{-1}(ay + C_1)$

右辺の積分は $\pm x + C_2$。

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0. よって、

$\frac{1}{a} \cosh^{-1}(ay + C_1) = \pm x + C_2$

$\cosh^{-1}(ay + C_1) = a(\pm x + C_2)$

$ay + C_1 = \cosh(a(\pm x + C_2))$

$y = \frac{1}{a} \cosh(a(\pm x + C_2)) - \frac{C_1}{a}$

$C_1$ および $C_2$ は積分定数であるため、新たな積分定数 $C_3$ を用いて $C_3 = \pm C_2$ と定義し、$C_4 = -\frac{C_1}{a}$ と定義すると、

$y = \frac{1}{a} \cosh(a(x + C_3)) + C_4$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{a} \cosh(a(x + C_1)) + C_2$

(ここで、$C_1$ と $C_2$ は積分定数)