与えられた数学の問題は、微分、極限、級数、n階導関数、マクローリン展開、定積分、不定積分、広義積分、整級数の収束半径、回転体の体積を求める問題です。具体的には以下の問題があります。 (1) $y = x^2e^{3x}$ の微分 (2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ の微分 (3) $y = (2x)^x$ の微分 (4) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$ の極限 (5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$ の級数の和 (6) $y = x^2 \cos x$ のn階導関数 $y^{(n)}$ (7) $\cos 3x$ のマクローリン展開 (8) $\frac{1}{2+x}$ のマクローリン展開 (9) $\int_{1/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ の定積分 (10) $\int (x^2 + x + 1) \log x dx$ の不定積分 (11) $\int \frac{1}{(x+2)(x^2+8)}dx$ の不定積分 (12) $\int_0^\infty \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx$ の広義積分 (ただし、$\alpha > 0$) (13) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の広義積分 (14) $\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{n!} x^n$ の収束半径 (15) $y = (\sin x)^{3/2}$ の $0 \le x \le \pi/2$ の部分をx軸の周りに回転してできる回転体の体積 V

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、微分、極限、級数、n階導関数、マクローリン展開、定積分、不定積分、広義積分、整級数の収束半径、回転体の体積を求める問題です。具体的には以下の問題があります。

(1) $y = x^2e^{3x}$ の微分

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ の微分

(3) $y = (2x)^x$ の微分

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$ の極限

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 2^n}{3^n}$ の級数の和

(6) $y = x^2 \cos x$ のn階導関数 $y^{(n)}$

(7) $\cos 3x$ のマクローリン展開

(8) $\frac{1}{2+x}$ のマクローリン展開

(9) $\int_{1/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ の定積分

(10) $\int (x^2 + x + 1) \log x dx$ の不定積分

(11) $\int \frac{1}{(x+2)(x^2+8)}dx$ の不定積分

(12) $\int_0^\infty \frac{x}{(x^2+1)^\alpha} dx$ の広義積分 (ただし、$\alpha > 0$)

(13) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の広義積分

(14) $\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{n!} x^n$ の収束半径

(15) $y = (\sin x)^{3/2}$ の $0 \le x \le \pi/2$ の部分をx軸の周りに回転してできる回転体の体積 V

2. 解き方の手順

いくつかの問題について解き方と解答を示します。

(1) $y = x^2 e^{3x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$y' = (x^2)'e^{3x} + x^2(e^{3x})' = 2xe^{3x} + x^2(3e^{3x}) = (3x^2 + 2x)e^{3x}$

(2) $y = \sin^{-1} \sqrt{2x}$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{2x})^2}} (\sqrt{2x})' = \frac{1}{\sqrt{1-2x}} \frac{1}{2\sqrt{2x}} (2) = \frac{1}{\sqrt{1-2x}} \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x}$ の極限

ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{1 - \cos 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{2\sin 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{4\cos 2x} = \frac{1}{4}$

(7) $\cos 3x$ のマクローリン展開

$\cos x$ のマクローリン展開は $\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$ なので、

$\cos 3x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}(3x)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 9^n}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{9x^2}{2!} + \frac{81x^4}{4!} - \dots$

(9) $\int_{1/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ の定積分

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$

$\int_{1/2}^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin x]_{1/2}^{\sqrt{2}/2} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$

(13) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ の広義積分

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 x^{-1/2} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [2\sqrt{x}]_\epsilon^1 = \lim_{\epsilon \to 0} (2\sqrt{1} - 2\sqrt{\epsilon}) = 2 - 0 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $(3x^2 + 2x)e^{3x}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}}$

(3) 解答省略

(4) $\frac{1}{4}$

(5) 解答省略

(6) 解答省略

(7) $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 9^n}{(2n)!}x^{2n}$

(8) 解答省略

(9) $\frac{\pi}{12}$

(10) 解答省略

(11) 解答省略

(12) 解答省略

(13) $2$

(14) 解答省略

(15) 解答省略