$a>0$ とする。アステロイド $x = a \cos^3 t$, $y = a \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が囲む部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$ とする。アステロイド $x = a \cos^3 t$, $y = a \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が囲む部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

アステロイドは$t=0$から$t=\pi/2$までで第一象限にある部分を一周する。アステロイドの対称性から、第一象限にある部分の面積を4倍することで、全体の面積を求めることができる。

まず、$x = a \cos^3 t$ より、$dx = -3a \cos^2 t \sin t dt$である。

したがって、求める面積$S$は、

$S = 4 \int_{0}^{a} y dx = 4 \int_{\pi/2}^{0} (a \sin^3 t) (-3a \cos^2 t \sin t) dt$

$= 12a^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt$

ここで、

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^m t \cos^n t dt = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$

という公式を使う。

$m=4$, $n=2$なので、

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \Gamma(\frac{8}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \Gamma(4)}$

$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$

$\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$

$\Gamma(4) = 3! = 6$

したがって、

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = \frac{(\frac{3}{4}\sqrt{\pi})(\frac{1}{2}\sqrt{\pi})}{2 \cdot 6} = \frac{\frac{3}{8} \pi}{12} = \frac{\pi}{32}$

よって、$S = 12 a^2 (\frac{\pi}{32}) = \frac{3}{8} \pi a^2$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} \pi a^2$