4次関数 $y = x^4 - 6x^2 - 8x$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

4次関数 $y = x^4 - 6x^2 - 8x$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求める

与えられた関数 $y = x^4 - 6x^2 - 8x$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 4x^3 - 12x - 8$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x^3 - 12x - 8 = 0$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

この式を因数分解します。$x = -1$ が解の一つであることに気づけば、

$(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

$(x + 1)^2(x - 2) = 0$

したがって、$x = -1$ （重解）と $x = 2$ が $y' = 0$ となる点です。

ステップ3: 増減表を作成する

$x = -1$ と $x = 2$ をもとに、増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

|-------|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | - | 0 | - | 0 | + |

| y | ↓ | -3 | ↓ | -24 | ↑ |

導関数の符号を調べるために、以下の区間における $y'$ の符号を調べます。

* $x < -1$ のとき、$y' = 4(x+1)^2(x-2) < 0$

* $-1 < x < 2$ のとき、$y' = 4(x+1)^2(x-2) < 0$

* $x > 2$ のとき、$y' = 4(x+1)^2(x-2) > 0$

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^4 - 6(-1)^2 - 8(-1) = 1 - 6 + 8 = 3$。したがって、$(-1, 3)$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^4 - 6(2)^2 - 8(2) = 16 - 24 - 16 = -24$。したがって、$(2, -24)$

ステップ4: 極値を求める

増減表より、極小値は $x=2$ のとき $y=-24$ です。$x = -1$ では $y'$ の符号が変わらないため、極値ではありません。

ステップ5: グラフの概形を描く

極小値 $(2, -24)$ を持ち、$x = -1$ のとき $y = 3$ であることを考慮してグラフの概形を描きます。$x < 2$ では減少、$x > 2$ では増加します。

3. 最終的な答え

関数 $y = x^4 - 6x^2 - 8x$ は、$x = 2$ で極小値 $-24$ をとります。グラフは $x < 2$ で減少し、$x > 2$ で増加する概形となります。