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関数 $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ について、$\frac{1}{81} < x \leq 9$ の範囲における値域を求める問題です。

解析学対数関数値域不等式
2025/7/31

1. 問題の内容

関数 y=log⁡13xy = \log_{\frac{1}{3}}x について、181<x≤9\frac{1}{81} < x \leq 9 の範囲における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた範囲の xx の値を使って、yy の値を計算します。底が 13\frac{1}{3} なので、対数関数は減少関数であることに注意します。
* x=181x = \frac{1}{81} のとき、y=log⁡13181y = \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{81}
181=(13)4\frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4 なので、y=4y = 4 です。
ただし、x>181x > \frac{1}{81} なので、y<4y < 4 になります。
* x=9x = 9 のとき、y=log⁡139y = \log_{\frac{1}{3}}9
9=(13)−29 = (\frac{1}{3})^{-2} なので、y=−2y = -2 です。
x≤9x \leq 9 なので、y≥−2y \geq -2 になります。
したがって、yy の値域は −2≤y<4-2 \leq y < 4 となります。

3. 最終的な答え

−2≤y<4-2 \leq y < 4

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