次の3つの数列が収束しないことを示す問題です。 (1) $\frac{(-1)^n}{2}$ (2) $2n$ (3) $(-1)^n n$

1. 問題の内容

次の3つの数列が収束しないことを示す問題です。

(1) $\frac{(-1)^n}{2}$

(2) $2n$

(3) $(-1)^n n$

2. 解き方の手順

数列$\{a_n\}$が収束するとは、ある実数$α$が存在して、任意の正の数$ε$に対して、ある自然数$N$が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - α| < ε$が成り立つことを言います。

数列が収束しないことを示すには、上記の定義を満たすような$α$が存在しないことを示します。

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{2}$ の場合

$n$が偶数のとき、$a_n = \frac{1}{2}$であり、$n$が奇数のとき、$a_n = -\frac{1}{2}$です。

数列は$\frac{1}{2}$と$-\frac{1}{2}$を交互にとるため、ある値に近づきません。

したがって、この数列は収束しません。

(2) $a_n = 2n$ の場合

$n$が大きくなるにつれて、$a_n$も大きくなります。

$n \rightarrow \infty$ のとき、$a_n \rightarrow \infty$ となり、ある値に近づきません。

したがって、この数列は収束しません。

(3) $a_n = (-1)^n n$ の場合

$n$が偶数のとき、$a_n = n$であり、$n$が奇数のとき、$a_n = -n$です。

数列は正と負の無限大に発散するため、ある値に近づきません。

したがって、この数列は収束しません。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(-1)^n}{2}$は収束しない。

(2) $2n$は収束しない。

(3) $(-1)^n n$は収束しない。