与えられた4つの整級数の収束半径を求める問題です。それぞれの級数は以下の通りです。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2}x^n$ (3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1}x^n$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n)x^n$

1. 問題の内容

与えられた4つの整級数の収束半径を求める問題です。それぞれの級数は以下の通りです。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2}x^n$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1}x^n$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n)x^n$

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ を求めるために、比判定法または冪根判定法を使用します。一般に、係数 $a_n$ を用いて級数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ の収束半径は次のように計算できます。

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ (比判定法)

または

$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}$ (冪根判定法)

(1) $a_n = \frac{n!}{n^n}$ なので、比判定法を使用します。

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}} = \frac{n! (n+1)^{n+1}}{(n+1)! n^n} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

したがって、

$R = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

(2) $a_n = (-1)^n \frac{2^n}{n^2}$ なので、比判定法を使用します。

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{(-1)^n 2^n / n^2}{(-1)^{n+1} 2^{n+1} / (n+1)^2} \right| = \frac{2^n (n+1)^2}{2^{n+1} n^2} = \frac{(n+1)^2}{2n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2}$

したがって、

$R = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2/n + 1/n^2}{2} = \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ なので、比判定法を使用します。

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2^n+1)/(3^n+1)}{(2^{n+1}+1)/(3^{n+1}+1)} = \frac{(2^n+1)(3^{n+1}+1)}{(3^n+1)(2^{n+1}+1)}$

$R = \lim_{n \to \infty} \frac{(2^n+1)(3^{n+1}+1)}{(3^n+1)(2^{n+1}+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n 3^{n+1}(1+2^{-n})(1+3^{-(n+1)})}{3^n 2^{n+1}(1+3^{-n})(1+2^{-(n+1)})} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \frac{2^n 3^n}{2^n 3^n} \frac{(1+2^{-n})(1+3^{-(n+1)})}{(1+3^{-n})(1+2^{-(n+1)})} = \frac{3}{2}$

(4) $a_n = \log n$ なので、冪根判定法を使用します。

$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}} = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} (\log n)^{1/n}}$

ここで、 $\lim_{n \to \infty} (\log n)^{1/n} = 1$ であるため、 $R = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $e$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $1$