定積分 $\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の不定積分は $\arcsin(x)$ です。したがって、定積分は次のように計算できます。

$\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin(x)]_{1/2}^{1/\sqrt{2}}$

ここで、$\arcsin(1/\sqrt{2}) = \pi/4$ および $\arcsin(1/2) = \pi/6$ であることに注意します。

したがって、

$\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(1/\sqrt{2}) - \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12}$