ライプニッツの公式を用いて、以下の高次導関数を求める問題です。 (1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)''$ (2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)}$ (3) $((x^2 + 2x)\sin x)^{(4)}$

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、以下の高次導関数を求める問題です。

(1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)''$

(2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)}$

(3) $((x^2 + 2x)\sin x)^{(4)}$

2. 解き方の手順

(1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)''$

ライプニッツの公式は、2つの関数 $u$ と $v$ の積の $n$ 階微分について、次のようになります。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数です。

この問題では、$u = x^2 + 3x - 1$、$v = e^x$、$n = 2$ とします。

$u' = 2x + 3$

$u'' = 2$

$u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v' = e^x$

$v'' = e^x$

$v^{(k)} = e^x$ for all $k$

ライプニッツの公式を適用すると、

$(uv)'' = \binom{2}{0} u v'' + \binom{2}{1} u' v' + \binom{2}{2} u'' v$

$= 1 \cdot (x^2 + 3x - 1) e^x + 2 \cdot (2x + 3) e^x + 1 \cdot 2 e^x$

$= (x^2 + 3x - 1) e^x + (4x + 6) e^x + 2 e^x$

$= (x^2 + 7x + 7) e^x$

(2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)}$

この問題では、$u = x^2 + 3x - 1$、$v = e^x$、$n = 3$ とします。

$u' = 2x + 3$

$u'' = 2$

$u^{(3)} = 0$

$u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v' = e^x$

$v'' = e^x$

$v^{(3)} = e^x$

$v^{(k)} = e^x$ for all $k$

ライプニッツの公式を適用すると、

$(uv)^{(3)} = \binom{3}{0} u v^{(3)} + \binom{3}{1} u' v'' + \binom{3}{2} u'' v' + \binom{3}{3} u^{(3)} v$

$= 1 \cdot (x^2 + 3x - 1) e^x + 3 \cdot (2x + 3) e^x + 3 \cdot 2 e^x + 0 \cdot e^x$

$= (x^2 + 3x - 1) e^x + (6x + 9) e^x + 6 e^x$

$= (x^2 + 9x + 14) e^x$

(3) $((x^2 + 2x)\sin x)^{(4)}$

この問題では、$u = x^2 + 2x$、$v = \sin x$、$n = 4$ とします。

$u' = 2x + 2$

$u'' = 2$

$u^{(3)} = 0$

$u^{(4)} = 0$

$u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v' = \cos x$

$v'' = -\sin x$

$v^{(3)} = -\cos x$

$v^{(4)} = \sin x$

ライプニッツの公式を適用すると、

$(uv)^{(4)} = \binom{4}{0} u v^{(4)} + \binom{4}{1} u' v^{(3)} + \binom{4}{2} u'' v'' + \binom{4}{3} u^{(3)} v' + \binom{4}{4} u^{(4)} v$

$= 1 \cdot (x^2 + 2x) \sin x + 4 \cdot (2x + 2) (-\cos x) + 6 \cdot 2 (-\sin x) + 0 + 0$

$= (x^2 + 2x) \sin x - (8x + 8) \cos x - 12 \sin x$

$= (x^2 + 2x - 12) \sin x - (8x + 8) \cos x$

3. 最終的な答え

(1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)'' = (x^2 + 7x + 7) e^x$

(2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)} = (x^2 + 9x + 14) e^x$

(3) $((x^2 + 2x)\sin x)^{(4)} = (x^2 + 2x - 12) \sin x - (8x + 8) \cos x$