与えられた積分 $\int (x^2 + x + 1) \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x^2 + x + 1) \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log x$, $dv = (x^2 + x + 1) \, dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \int (x^2 + x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int (x^2 + x + 1) \log x \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \log x - \int \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \frac{1}{x} \, dx$

$= \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \log x - \int \left( \frac{x^2}{3} + \frac{x}{2} + 1 \right) \, dx$

$= \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \log x - \left( \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{4} + x \right) + C$

3. 最終的な答え

$\int (x^2 + x + 1) \log x \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \log x - \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{4} - x + C$