次の不定積分を計算します。 $\int \frac{1}{(x+2)(x^3+8)} dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{(x+2)(x^3+8)} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x^3+8$を因数分解します。$x^3+8 = x^3 + 2^3$なので、因数分解の公式$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$を使うと、

$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$

となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(x+2)(x+2)(x^2-2x+4)} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2(x^2-2x+4)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+2)^2(x^2-2x+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} + \frac{Cx+D}{x^2-2x+4}$

両辺に$(x+2)^2(x^2-2x+4)$をかけると

$1 = A(x+2)(x^2-2x+4) + B(x^2-2x+4) + (Cx+D)(x+2)^2$

$1 = A(x^3+8) + B(x^2-2x+4) + (Cx+D)(x^2+4x+4)$

$1 = Ax^3+8A + Bx^2-2Bx+4B + Cx^3+4Cx^2+4Cx+Dx^2+4Dx+4D$

$1 = (A+C)x^3 + (B+4C+D)x^2 + (-2B+4C+4D)x + (8A+4B+4D)$

係数を比較すると、

$A+C = 0$

$B+4C+D = 0$

$-2B+4C+4D = 0$

$8A+4B+4D = 1$

$C = -A$

$B-4A+D = 0 \Rightarrow D = 4A-B$

$-2B-4A+4(4A-B) = 0 \Rightarrow -2B-4A+16A-4B = 0 \Rightarrow 12A-6B = 0 \Rightarrow B = 2A$

$8A+4(2A)+4(4A-2A) = 1 \Rightarrow 8A+8A+8A = 1 \Rightarrow 24A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{24}$

$B = 2A = \frac{1}{12}$

$C = -A = -\frac{1}{24}$

$D = 4A-B = \frac{4}{24}-\frac{2}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

よって、

$\frac{1}{(x+2)^2(x^2-2x+4)} = \frac{1/24}{x+2} + \frac{1/12}{(x+2)^2} + \frac{(-1/24)x+1/12}{x^2-2x+4}$

$\int \frac{1}{(x+2)^2(x^2-2x+4)} dx = \frac{1}{24}\int \frac{1}{x+2} dx + \frac{1}{12}\int \frac{1}{(x+2)^2} dx + \int \frac{(-1/24)x+1/12}{x^2-2x+4} dx$

$= \frac{1}{24} \ln|x+2| - \frac{1}{12(x+2)} + \int \frac{(-1/24)x+1/12}{x^2-2x+4} dx$

$\int \frac{(-1/24)x+1/12}{x^2-2x+4} dx = -\frac{1}{48} \int \frac{2x-4}{x^2-2x+4} dx = -\frac{1}{48} \ln|x^2-2x+4|$

$\frac{1}{24} \ln|x+2| - \frac{1}{12(x+2)} -\frac{1}{48} \ln|x^2-2x+4| + C$

$=\frac{1}{48} (2\ln|x+2| - \frac{4}{x+2} - \ln|x^2-2x+4|) + C$

$=\frac{1}{48} (\ln|(x+2)^2| - \ln|x^2-2x+4| - \frac{4}{x+2}) + C$

$=\frac{1}{48} (\ln|\frac{(x+2)^2}{x^2-2x+4}| - \frac{4}{x+2}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{48} \left( \ln\left|\frac{(x+2)^2}{x^2-2x+4}\right| - \frac{4}{x+2} \right) + C$

または

$\frac{1}{24}\ln|x+2| - \frac{1}{12(x+2)} -\frac{1}{48}\ln|x^2-2x+4|+C$