与えられた整級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた整級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ の収束半径を求めよ。

2. 解き方の手順

収束半径を求めるには、比判定法を用いることが一般的です。数列 $a_n = \frac{(2n)^n}{n!} x^n$ に対して、

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ を計算します。

$L < 1$ のとき、級数は絶対収束し、$L > 1$ のとき、級数は発散します。

$L = 1$ のとき、判定法では収束・発散を判断できません。

まず、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1))^{n+1}}{(n+1)!} x^{n+1} \cdot \frac{n!}{(2n)^n x^n} = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(2n)^n} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(n+1)(2n)^n} x$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)^{n+1}}{(n+1)(2n)^n} x = \frac{2^{n+1}(n+1)^{n+1}}{(n+1)2^n n^n} x = 2 \left( \frac{n+1}{n} \right)^n (n+1) \frac{x}{n+1} = 2\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n x$

したがって、

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n x \right| = |2e x|$

収束するためには $L < 1$ である必要があるので、

$|2ex| < 1$

$|x| < \frac{1}{2e}$

収束半径 $R$ は $R = \frac{1}{2e}$ となります。

3. 最終的な答え

収束半径は $\frac{1}{2e}$ です。