曲線 $y = (\sin x)^{3/2}$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = (\sin x)^{3/2}$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、次の積分で計算できます。

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

ここで、$y = (\sin x)^{3/2}$ であり、$a=0$、$b=\frac{\pi}{2}$ です。したがって、

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ((\sin x)^{3/2})^2 dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx$

$\sin^3 x$ は $\sin x$ と $\cos x$ を使って表すことができます。

$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x \cos^2 x$

したがって、

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \sin x \cos^2 x) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int \sin x dx = -\cos x$

$\int \sin x \cos^2 x dx$ については、置換積分を行います。$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ ですから、

$\int \sin x \cos^2 x dx = - \int u^2 du = -\frac{u^3}{3} = -\frac{\cos^3 x}{3}$

したがって、

$V = \pi [-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \pi \left( (-\cos \frac{\pi}{2} + \frac{\cos^3 \frac{\pi}{2}}{3}) - (-\cos 0 + \frac{\cos^3 0}{3}) \right)$

$V = \pi \left( (0 + 0) - (-1 + \frac{1}{3}) \right)$

$V = \pi \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \pi \cdot \frac{2}{3}$

$V = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$