関数 $f(x) = \cos(3x)$ のマクローリン展開を4次の項まで求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos(3x)$ のマクローリン展開を4次の項まで求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を $x=0$ の周りでテイラー展開したものである。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は以下の式で与えられる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

まず、$f(x) = \cos(3x)$ の導関数をいくつか求める。

$f(x) = \cos(3x)$

$f'(x) = -3\sin(3x)$

$f''(x) = -9\cos(3x)$

$f'''(x) = 27\sin(3x)$

$f''''(x) = 81\cos(3x)$

次に、これらの導関数に $x=0$ を代入する。

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -3\sin(0) = 0$

$f''(0) = -9\cos(0) = -9$

$f'''(0) = 27\sin(0) = 0$

$f''''(0) = 81\cos(0) = 81$

これらの値をマクローリン展開の式に代入する。

$f(x) = 1 + 0\cdot x + \frac{-9}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{81}{4!}x^4 + \dots$

整理すると、

$f(x) = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{81}{24}x^4 + \dots$

$f(x) = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + \dots$

3. 最終的な答え

$\cos(3x) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$