数列 $a_n$ が $a_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 t^n e^{-t} dt$ で定義されている。ただし、$e$ は自然対数の底である。以下の問いに答えよ。 (1) $a_0, a_1, a_2$ を求めよ。 (2) $0 \le t \le 1$ のとき、$t^n e^{-1} \le e^{-1}$ を示せ。 (3) $0 \le \int_0^1 t^n e^{-t} dt \le 1 - e^{-1}$ を示せ。 ($n=0, 1, 2, 3, \dots$) (4) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を示せ。 (5) $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{(n+1)!e}$ を示せ。 (6) $e - 1 = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$ を示せ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 t^n e^{-t} dt$ で定義されている。ただし、$e$ は自然対数の底である。以下の問いに答えよ。

(1) $a_0, a_1, a_2$ を求めよ。

(2) $0 \le t \le 1$ のとき、$t^n e^{-1} \le e^{-1}$ を示せ。

(3) $0 \le \int_0^1 t^n e^{-t} dt \le 1 - e^{-1}$ を示せ。 ($n=0, 1, 2, 3, \dots$)

(4) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を示せ。

(5) $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{(n+1)!e}$ を示せ。

(6) $e - 1 = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_0 = \frac{1}{0!} \int_0^1 e^{-t} dt = [-e^{-t}]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - e^{-1}$

$a_1 = \frac{1}{1!} \int_0^1 t e^{-t} dt = \int_0^1 t e^{-t} dt$

部分積分を行う。$u = t, dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = dt, v = -e^{-t}$ なので、

$\int_0^1 t e^{-t} dt = [-te^{-t}]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-t}) dt = -e^{-1} + \int_0^1 e^{-t} dt = -e^{-1} + [-e^{-t}]_0^1 = -e^{-1} - ( -1) + 1 = 1 - 2e^{-1}$

$a_2 = \frac{1}{2!} \int_0^1 t^2 e^{-t} dt = \frac{1}{2} \int_0^1 t^2 e^{-t} dt$

部分積分を行う。$u = t^2, dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = 2t dt, v = -e^{-t}$ なので、

$\int_0^1 t^2 e^{-t} dt = [-t^2 e^{-t}]_0^1 - \int_0^1 -2t e^{-t} dt = -e^{-1} + 2 \int_0^1 t e^{-t} dt = -e^{-1} + 2(1 - 2e^{-1}) = 2 - 5e^{-1}$

$a_2 = \frac{1}{2} (2 - 5e^{-1}) = 1 - \frac{5}{2} e^{-1}$

(2)

$0 \le t \le 1$ なので、$t^n \le 1$ である。また、$e^{-1} > 0$ なので、$t^n e^{-1} \le e^{-1}$

(3)

被積分関数 $t^n e^{-t} \ge 0$ なので、$\int_0^1 t^n e^{-t} dt \ge 0$ である。

また、(2) より $t^n e^{-t} \le e^{-t}$ なので、

$\int_0^1 t^n e^{-t} dt \le \int_0^1 e^{-t} dt = [-e^{-t}]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - e^{-1}$

したがって、$0 \le \int_0^1 t^n e^{-t} dt \le 1 - e^{-1}$

(4)

(3) より、$0 \le \int_0^1 t^n e^{-t} dt \le 1 - e^{-1}$ なので、$0 \le \frac{1}{n!} \int_0^1 t^n e^{-t} dt \le \frac{1 - e^{-1}}{n!}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - e^{-1}}{n!} = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

(5)

$a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \int_0^1 t^{n+1} e^{-t} dt$

部分積分を行う。$u = t^{n+1}, dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = (n+1)t^n dt, v = -e^{-t}$ なので、

$\int_0^1 t^{n+1} e^{-t} dt = [-t^{n+1} e^{-t}]_0^1 - \int_0^1 -(n+1)t^n e^{-t} dt = -e^{-1} + (n+1) \int_0^1 t^n e^{-t} dt$

$a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} (-e^{-1} + (n+1) \int_0^1 t^n e^{-t} dt) = \frac{-e^{-1}}{(n+1)!} + \frac{(n+1)}{(n+1)!} \int_0^1 t^n e^{-t} dt = \frac{-e^{-1}}{(n+1)!} + \frac{1}{n!} \int_0^1 t^n e^{-t} dt = -\frac{1}{(n+1)!e} + a_n$

したがって、$a_{n+1} = a_n - \frac{1}{(n+1)!e}$

(6)

(5) より、$a_{n+1} = a_n - \frac{1}{(n+1)!e}$ なので、$a_{n+1} - a_n = - \frac{1}{(n+1)!e}$ である。

$a_n - a_{n-1} = - \frac{1}{n!e}$

$a_{n-1} - a_{n-2} = - \frac{1}{(n-1)!e}$

...

$a_1 - a_0 = - \frac{1}{1!e}$

これらの和をとると、$a_n - a_0 = - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!e}$

$a_n = a_0 - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!e} = 1 - e^{-1} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!e}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ なので、$0 = 1 - e^{-1} - \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!e}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!e} = 1 - e^{-1}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} = e - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_0 = 1 - e^{-1}, a_1 = 1 - 2e^{-1}, a_2 = 1 - \frac{5}{2}e^{-1}$

(2) (証明)

(3) (証明)

(4) (証明)

(5) (証明)

(6) $e - 1 = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$