次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて式を変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \sin 3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、$\frac{x}{x}$ および $\frac{3x}{3x}$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{x}{3x} \cdot \frac{1}{\cos x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{x}{3x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$