はい、承知いたしました。問題の指示に従い、各問題について以下の形式で回答します。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、各問題について以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

2. 解き方の手順

3. 最終的な答え

**問題1:** $\int \frac{x^2}{(2x-1)^2}dx$

**

2. 解き方の手順:**

まず、被積分関数を部分分数分解することを試みます。$x^2$ を $(2x-1)^2$ で割ると、

$$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{x}{2(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8(2x-1)} + \frac{1}{8(2x-1)^2}$$

したがって、

$$\int \frac{x^2}{(2x-1)^2}dx = \int \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{8(2x-1)} + \frac{1}{8(2x-1)^2}\right) dx$$

各項を積分します。

$$\int \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}x$$

$$\int \frac{1}{8(2x-1)} dx = \frac{1}{16} \ln|2x-1|$$

$$\int \frac{1}{8(2x-1)^2} dx = -\frac{1}{16(2x-1)}$$

したがって、

$$\int \frac{x^2}{(2x-1)^2}dx = \frac{1}{4}x + \frac{1}{16} \ln|2x-1| -\frac{1}{16(2x-1)} + C$$

**

3. 最終的な答え:**

$$\frac{1}{4}x + \frac{1}{16} \ln|2x-1| -\frac{1}{16(2x-1)} + C$$

**問題2:** $\int xe^{-x^2} dx$

**

2. 解き方の手順:**

置換積分を行います。$u = -x^2$ とおくと、$du = -2x dx$ となります。したがって、 $x dx = -\frac{1}{2} du$ です。

$$\int xe^{-x^2} dx = \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2}e^u + C = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$$

**

3. 最終的な答え:**

$$-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$$

**問題3:** $\int \frac{1}{x^2+4x+9} dx$

**

2. 解き方の手順:**

分母を平方完成させます。

$x^2 + 4x + 9 = (x+2)^2 + 5$.

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{1}{(x+2)^2 + 5} dx$$

$u = x+2$ とおくと、$du = dx$ となります。

$$\int \frac{1}{u^2 + 5} du = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + C$$

**

3. 最終的な答え:**

$$\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + C$$

**問題4:** $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+7}} dx$

**

2. 解き方の手順:**

分母の根号内を平方完成します。

$x^2+4x+7 = (x+2)^2+3$.

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2+3}} dx$$

$u = x+2$ とおくと、$du=dx$.

$$\int \frac{1}{\sqrt{u^2+3}}du$$

$u = \sqrt{3}\sinh(t)$とおくと、$du = \sqrt{3}\cosh(t)dt$.

$$\int \frac{\sqrt{3}\cosh(t)}{\sqrt{3\sinh^2(t) + 3}}dt = \int \frac{\sqrt{3}\cosh(t)}{\sqrt{3}\cosh(t)}dt = \int 1 dt = t + C = \sinh^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)+C$$

$$\sinh^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right)+C = \ln\left(x+2 + \sqrt{(x+2)^2+3}\right)+C = \ln\left(x+2+\sqrt{x^2+4x+7}\right)+C$$

**

3. 最終的な答え:**

$$\ln\left(x+2+\sqrt{x^2+4x+7}\right)+C$$

**問題5:** $\int \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

**

2. 解き方の手順:**

根号内を平方完成します。

$3+2x-x^2 = -(x^2-2x) + 3 = -(x^2-2x+1) + 1 + 3 = 4 - (x-1)^2$.

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$$

$u = x-1$ とおくと、$du = dx$.

$$\int \frac{1}{\sqrt{4-u^2}} du$$

$u = 2\sin(t)$ とおくと、$du = 2\cos(t)dt$.

$$\int \frac{2\cos(t)}{\sqrt{4-4\sin^2(t)}} dt = \int \frac{2\cos(t)}{2\cos(t)} dt = \int 1 dt = t + C = \arcsin\left(\frac{u}{2}\right) + C$$

$$\arcsin\left(\frac{x-1}{2}\right) + C$$

**

3. 最終的な答え:**

$$\arcsin\left(\frac{x-1}{2}\right) + C$$

**問題6:** $\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$

**

2. 解き方の手順:**

$u = e^x$ とおくと、$du = e^x dx$.

$$\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan(u) + C = \arctan(e^x) + C$$

**

3. 最終的な答え:**

$$\arctan(e^x) + C$$