半径 $r$ の円Oの周上に、中心角 $\theta$ に対する弧ABをとる。弧ABを2等分する点をCとし、線分OCと弦ABの交点をDとする。以下の極限を求める問題。 (1) $\lim_{\theta \to +0} \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{AB}$ (2) $\lim_{\theta \to +0} \frac{CD}{AB}$

1. 問題の内容

半径 $r$ の円Oの周上に、中心角 $\theta$ に対する弧ABをとる。弧ABを2等分する点をCとし、線分OCと弦ABの交点をDとする。以下の極限を求める問題。

(1) $\lim_{\theta \to +0} \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{AB}$

(2) $\lim_{\theta \to +0} \frac{CD}{AB}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、弧ABの長さを求める。弧の長さは $r\theta$ なので、$\stackrel{\frown}{AB} = r\theta$ となる。

次に、弦ABの長さを求める。三角形OABは二等辺三角形であり、OA=OB=r、角AOB=$\theta$ なので、ABの長さは余弦定理より、

$AB^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos\theta = 2r^2(1-\cos\theta)$

$AB = \sqrt{2r^2(1-\cos\theta)} = r\sqrt{2(1-\cos\theta)}$

$\cos\theta = 1 - 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ を用いると、

$AB = r\sqrt{4\sin^2(\frac{\theta}{2})} = 2r|\sin(\frac{\theta}{2})|$

$\theta \to +0$ なので、$\sin(\frac{\theta}{2})>0$ となり、$AB = 2r\sin(\frac{\theta}{2})$ となる。

したがって、

$\lim_{\theta \to +0} \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{AB} = \lim_{\theta \to +0} \frac{r\theta}{2r\sin(\frac{\theta}{2})} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\theta}{2\sin(\frac{\theta}{2})} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\frac{\theta}{2}}{\sin(\frac{\theta}{2})} = 1$

(2)

CDの長さを求める。

OC=rであり、ODの長さを求める。

三角形OADにおいて、$\angle AOD = \frac{\theta}{2}$ であり、$\angle OAD = \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$ である。

$\cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{AD}{OA} = \frac{AD}{r}$ より、$AD = r\cos(\frac{\theta}{2})$

三角形ADBにおいて、AD=DBなので、AB=2ADとなる。

$AB = 2AD = 2r\cos(\frac{\theta}{2})$

$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{r^2 - r^2\cos^2(\frac{\theta}{2})} = r\sqrt{1-\cos^2(\frac{\theta}{2})} = r|\sin(\frac{\theta}{2})| = r\sin(\frac{\theta}{2})$

したがって、$CD = OC - OD = r - r\sin(\frac{\theta}{2}) = r(1-\sin(\frac{\theta}{2}))$

$\lim_{\theta \to +0} \frac{CD}{AB} = \lim_{\theta \to +0} \frac{r(1-\sin(\frac{\theta}{2}))}{2r\sin(\frac{\theta}{2})} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1-\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2})} = \frac{1-0}{2(0)} = \infty$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\infty$