数列 $\{b_n\}$ は全ての自然数 $n$ に対して $b_n \neq 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ かつ $\beta \neq 0$ であるとする。以下の事実を用いて、数列 $\{ \frac{1}{b_n} \}$ が $\frac{1}{\beta}$ に収束することを証明する。 (i) 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して、ある自然数 $N_0$ が存在して、$n \geq N_0$ である全ての自然数 $n$ について、 $|b_n - \beta| < \varepsilon$ が成り立つ。 (ii) ある自然数 $N_1$ が存在して、$n \geq N_1$ である全ての自然数 $n$ について、$|b_n - \beta| < \frac{1}{2} |\beta|$ が成り立つ。

1. 問題の内容

数列 $\{b_n\}$ は全ての自然数 $n$ に対して $b_n \neq 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ かつ $\beta \neq 0$ であるとする。以下の事実を用いて、数列 $\{ \frac{1}{b_n} \}$ が $\frac{1}{\beta}$ に収束することを証明する。

(i) 任意の正の実数 $\varepsilon$ に対して、ある自然数 $N_0$ が存在して、$n \geq N_0$ である全ての自然数 $n$ について、 $|b_n - \beta| < \varepsilon$ が成り立つ。

(ii) ある自然数 $N_1$ が存在して、$n \geq N_1$ である全ての自然数 $n$ について、$|b_n - \beta| < \frac{1}{2} |\beta|$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{b_n}$ が $\frac{1}{\beta}$ に収束することを示すためには、任意の正の実数 $\varepsilon'$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n \geq N$ ならば $|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{\beta}| < \varepsilon'$ が成り立つことを示す必要がある。

まず、$|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{\beta}|$ を変形する。

$|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{\beta}| = |\frac{\beta - b_n}{b_n \beta}| = \frac{|b_n - \beta|}{|b_n| |\beta|}$

ここで、(ii) より、$n \geq N_1$ ならば $|b_n - \beta| < \frac{1}{2} |\beta|$ が成り立つ。この不等式を変形すると、

$-\frac{1}{2} |\beta| < b_n - \beta < \frac{1}{2} |\beta|$

$\frac{1}{2} |\beta| < b_n + \beta - \beta < \frac{3}{2} |\beta|$

$\frac{1}{2} |\beta| < |b_n| < \frac{3}{2} |\beta|$ が必ずしも言えない.

むしろ

$|b_n| = |b_n - \beta + \beta| \ge ||b_n - \beta| - |\beta||$ より

$||b_n| - |\beta|| \le |b_n - \beta| < \frac{1}{2}|\beta|$.

よって $-\frac{1}{2}|\beta| < |b_n| - |\beta| < \frac{1}{2}|\beta|$

$\frac{1}{2}|\beta| < |b_n| < \frac{3}{2}|\beta|$.

したがって$\frac{1}{|b_n|} < \frac{2}{|\beta|}$が成り立つ。

$|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{\beta}| = \frac{|b_n - \beta|}{|b_n| |\beta|} < \frac{|b_n - \beta|}{|\beta|} \frac{2}{|\beta|} = \frac{2 |b_n - \beta|}{|\beta|^2}$

任意の $\varepsilon' > 0$ に対して、$|b_n - \beta| < \frac{|\beta|^2 \varepsilon'}{2}$ となるように $n$ を大きくすればよい。

(i) より、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N_0$ が存在して、$n \geq N_0$ ならば $|b_n - \beta| < \varepsilon$ が成り立つ。

$\varepsilon = \frac{|\beta|^2 \varepsilon'}{2}$ とおくと、ある自然数 $N_0$ が存在して、$n \geq N_0$ ならば $|b_n - \beta| < \frac{|\beta|^2 \varepsilon'}{2}$ が成り立つ。

したがって、$N = \max\{N_0, N_1\}$ とおくと、$n \geq N$ ならば

$|\frac{1}{b_n} - \frac{1}{\beta}| < \frac{2 |b_n - \beta|}{|\beta|^2} < \frac{2}{|\beta|^2} \cdot \frac{|\beta|^2 \varepsilon'}{2} = \varepsilon'$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

数列 $\{ \frac{1}{b_n} \}$ は $\frac{1}{\beta}$ に収束する。