## 問題の解答

## 問題の解答

###

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2 + x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$

(4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin(x - \frac{\pi}{3})}$

###

2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$**

* 分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}}$

* $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

**(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2 + x}$**

* 分母を $x$ でくくります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x(x + 1)}$

* $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$ を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} = 2 \cdot \frac{1}{0 + 1} = 2$

**(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$**

* 分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}}$

* $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ を使います。

$\frac{\sin 5x}{x} = \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5$

$\frac{\sin 2x}{x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}$

**(4) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin(x - \frac{\pi}{3})}$**

* $t = x - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{3}$ であり、$x \to \frac{\pi}{3}$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan(t + \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}}{\sin t}$

* 三角関数の加法定理を使って $\tan(t + \frac{\pi}{3})$ を展開します。

$\tan(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan t + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan t \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{\tan t + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan t}$

* これを代入します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\tan t + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan t} - \sqrt{3}}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t + \sqrt{3} - \sqrt{3}(1 - \sqrt{3} \tan t)}{\sin t(1 - \sqrt{3} \tan t)}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\tan t + 3 \tan t}{\sin t (1 - \sqrt{3} \tan t)} = \lim_{t \to 0} \frac{4 \tan t}{\sin t (1 - \sqrt{3} \tan t)}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{4}{\cos t (1 - \sqrt{3} \tan t)} = \frac{4}{1 (1 - 0)} = 4$

###

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $2$

(3) $\frac{5}{2}$

(4) $4$