整級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ の収束半径を求めよ。

1. 問題の内容

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ の収束半径を求めよ。

2. 解き方の手順

収束半径を求めるために、比の判定法を用いる。

$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ とする。

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ を計算する。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2 x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2 x^{2n-1}} = \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}}$

$= \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot x^2 = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} x^2 = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} x^2 = \frac{n+1}{2(2n+1)} x^2 = \frac{n+1}{4n+2} x^2$

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{n+1}{4n+2} x^2| = |x^2| \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n+2} = |x^2| \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}} = |x^2| \cdot \frac{1}{4} = \frac{|x^2|}{4}$

級数が収束するためには、$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1$ である必要があるので、

$\frac{|x^2|}{4} < 1$

$|x^2| < 4$

$|x| < 2$

したがって、収束半径は $2$ である。

3. 最終的な答え

収束半径は $2$