点$(2, -2)$から曲線$y = -x^2 + 1$に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点$(2, -2)$から曲線$y = -x^2 + 1$に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を$(t, -t^2+1)$とおきます。次に、$y = -x^2 + 1$を微分して、導関数を求めます。

$$y' = -2x$$

接点$(t, -t^2+1)$における接線の傾きは、$y'|_{x=t} = -2t$となります。

よって、接線の方程式は、

$$y - (-t^2+1) = -2t(x-t)$$

$$y + t^2 - 1 = -2tx + 2t^2$$

$$y = -2tx + t^2 + 1$$

この接線が点$(2, -2)$を通るので、

$$-2 = -2t(2) + t^2 + 1$$

$$-2 = -4t + t^2 + 1$$

$$t^2 - 4t + 3 = 0$$

$$(t-1)(t-3) = 0$$

したがって、$t=1, 3$となります。

$t=1$のとき、接点は$(1, 0)$、傾きは$-2$なので、接線の方程式は、

$$y - 0 = -2(x-1)$$

$$y = -2x + 2$$

$t=3$のとき、接点は$(3, -8)$、傾きは$-6$なので、接線の方程式は、

$$y - (-8) = -6(x-3)$$

$$y + 8 = -6x + 18$$

$$y = -6x + 10$$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、

$y = -2x + 2$と$y = -6x + 10$です。