(1) $\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx$ (2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$ 上記2つの不定積分を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

上記2つの不定積分を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$I = \int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx$

まず、分母の有理化を行います。

$\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1})} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{x^2 - (x^2 + 1)} = -x + \sqrt{x^2 + 1}$

したがって、$I = \int (-x + \sqrt{x^2 + 1}) dx = -\int x dx + \int \sqrt{x^2 + 1} dx$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

次に$\int \sqrt{x^2 + 1} dx$を計算します。これは双曲線関数を使うか、部分積分を使うことで求められます。ここでは部分積分を使います。

$J = \int \sqrt{x^2 + 1} dx = \int 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} dx = x\sqrt{x^2 + 1} - \int x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} dx = x\sqrt{x^2 + 1} - \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = x\sqrt{x^2 + 1} - \int \frac{x^2 + 1 - 1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = x\sqrt{x^2 + 1} - \int \sqrt{x^2 + 1} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = x\sqrt{x^2 + 1} - J + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$

$2J = x\sqrt{x^2 + 1} + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = x\sqrt{x^2 + 1} + \sinh^{-1}x + C_2 = x\sqrt{x^2 + 1} + \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C_2$

$J = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C_3$

よって、

$I = -\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$

(2)

$I = \int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2 + x + 1}} dx$

$x+1 = \frac{1}{t}$とおくと、$dx = -\frac{1}{t^2} dt$。また、$x = \frac{1}{t} - 1$である。

$x^2 + x + 1 = (\frac{1}{t} - 1)^2 + (\frac{1}{t} - 1) + 1 = \frac{1}{t^2} - \frac{2}{t} + 1 + \frac{1}{t} - 1 + 1 = \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t} + 1 = \frac{1 - t + t^2}{t^2}$

$\sqrt{x^2 + x + 1} = \frac{\sqrt{t^2 - t + 1}}{t}$

$I = \int \frac{1}{\frac{1}{t} \cdot \frac{\sqrt{t^2 - t + 1}}{t}} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \frac{-1}{\frac{\sqrt{t^2 - t + 1}}{t}} \frac{1}{t^2} dt = \int \frac{-t}{\sqrt{t^2 - t + 1}} dt$

$I = - \int \frac{t}{\sqrt{(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}} dt$

$u = t - \frac{1}{2}$と置くと$t = u + \frac{1}{2}, dt = du$

$I = -\int \frac{u + \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = -\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du - \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du$

$-\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = -\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}$

$-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = -\frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{2u}{\sqrt{3}})$

$I = -\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{2u}{\sqrt{3}}) + C = -\sqrt{(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{2(t - \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + C = -\sqrt{t^2 - t + 1} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{2t - 1}{\sqrt{3}}) + C = -\frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x+1} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{2\frac{1}{x+1} - 1}{\sqrt{3}}) + C$

$I = -\frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x+1} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{1-x}{\sqrt{3}(x+1)}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$

(2) $-\frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x+1} - \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{1-x}{\sqrt{3}(x+1)}) + C$