与えられた定積分の値を計算します。 (1) $\int_{0}^{2} \frac{x^2}{x^2 - 9} dx$ (2) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

はい、承知いたしました。画像に示された数学の問題を解きます。今回は、問題1の(1)と(2)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。

(1) $\int_{0}^{2} \frac{x^2}{x^2 - 9} dx$

(2) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^2}{x^2 - 9} = \frac{x^2 - 9 + 9}{x^2 - 9} = 1 + \frac{9}{x^2 - 9} = 1 + \frac{9}{(x - 3)(x + 3)}$

$\frac{9}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 3}$

$9 = A(x + 3) + B(x - 3)$

$x = 3$のとき、$9 = 6A$より$A = \frac{3}{2}$

$x = -3$のとき、$9 = -6B$より$B = -\frac{3}{2}$

したがって、

$\frac{x^2}{x^2 - 9} = 1 + \frac{3}{2(x - 3)} - \frac{3}{2(x + 3)}$

積分すると、

$\int \frac{x^2}{x^2 - 9} dx = x + \frac{3}{2} \ln|x - 3| - \frac{3}{2} \ln|x + 3| + C = x + \frac{3}{2} \ln|\frac{x - 3}{x + 3}| + C$

定積分を計算すると、

$\int_{0}^{2} \frac{x^2}{x^2 - 9} dx = \left[ x + \frac{3}{2} \ln|\frac{x - 3}{x + 3}| \right]_{0}^{2} = 2 + \frac{3}{2} \ln|\frac{-1}{5}| - 0 - \frac{3}{2} \ln|\frac{-3}{3}| = 2 + \frac{3}{2} \ln(\frac{1}{5}) - 0 = 2 - \frac{3}{2} \ln(5)$

(2)

$x = 2 \sin \theta$と置換すると、$dx = 2 \cos \theta d\theta$。

$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = 2 \cos \theta$

$x = 1$のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$より$\theta = \frac{\pi}{6}$

$x = \sqrt{3}$のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$より$\theta = \frac{\pi}{3}$

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 \sin^2 \theta}{2 \cos \theta} 2 \cos \theta d\theta = 4 \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin^2 \theta d\theta$

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$なので、

$4 \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = 2 \int_{\pi/6}^{\pi/3} (1 - \cos 2\theta) d\theta = 2 \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{\pi/6}^{\pi/3}$

$= 2 \left[ (\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3}) - (\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3}) \right] = 2 \left[ (\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}) \right]$

$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} \right] = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2 - \frac{3}{2} \ln 5$

(2) $\frac{\pi}{3}$