広義積分 $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ （$n=0,1,2,3,...$）について、以下の問いに答える。 1. 広義積分 $I_n$ が収束することを示す。

1. 問題の内容

広義積分 $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ （$n=0,1,2,3,...$）について、以下の問いに答える。

1. 広義積分 $I_n$ が収束することを示す。

2. $I_0, I_1, I_2, I_3$ を求める。

3. $I_{n+2} - I_n$ を求める。

4. $I_n$ を求める（数学的帰納法は不要）。

2. 解き方の手順

1. 広義積分 $I_n$ の収束性について。

$x=0$ の近傍で、$\sin x \sim x$、$\sin (nx) \sim nx$ であるから、

$\frac{\sin (nx)}{\sin x} \sim \frac{nx}{x} = n$ となり、被積分関数は $x=0$ で有界である。

したがって、積分区間 $[0, \pi]$ で $\frac{\sin(nx)}{\sin x}$ は積分可能であり、$I_n$ は収束する。

2. $I_0, I_1, I_2, I_3$ の計算

$I_0 = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(0 \cdot x)}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{0}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} 0 \, dx = 0$

$I_1 = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(1 \cdot x)}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = [x]_{0}^{\pi} = \pi$

$I_2 = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} 2 \cos x \, dx = [2 \sin x]_{0}^{\pi} = 2(\sin \pi - \sin 0) = 0$

$I_3 = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(3x)}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} (3-4\sin^2 x) dx$

$= \int_{0}^{\pi} (3 - 4(\frac{1-\cos 2x}{2})) dx = \int_{0}^{\pi} (3-2+2\cos 2x) dx = \int_{0}^{\pi} (1+2\cos 2x) dx = [x + \sin 2x]_{0}^{\pi} = (\pi + \sin 2\pi) - (0 + \sin 0) = \pi$

3. $I_{n+2} - I_n$ の計算

$I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{2 \cos((n+1)x) \sin x}{\sin x} dx = \int_{0}^{\pi} 2 \cos((n+1)x) dx$

$= [ \frac{2 \sin((n+1)x)}{n+1} ]_{0}^{\pi} = \frac{2 \sin((n+1)\pi)}{n+1} - \frac{2 \sin(0)}{n+1} = 0$

4. $I_n$ の計算

$I_{n+2} - I_n = 0$ より、$I_{n+2} = I_n$ であるから、$I_n$ は $n$ の偶奇によって値が決まる。

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ とすると、$I_{2k} = I_0 = 0$

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ とすると、$I_{2k+1} = I_1 = \pi$

3. 最終的な答え

1. $I_n$ は収束する。

2. $I_0 = 0$, $I_1 = \pi$, $I_2 = 0$, $I_3 = \pi$

3. $I_{n+2} - I_n = 0$

4. $I_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \pi & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$