次の4つの級数の収束・発散を判定します。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$ (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!!}{n^n}$ (4) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2n}}{(2n)!}$

はい、承知いたしました。与えられた級数の収束・発散を判定します。

1. 問題の内容

次の4つの級数の収束・発散を判定します。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!!}{n^n}$

(4) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2n}}{(2n)!}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$

比判定法を用います。$a_n = \frac{2^n}{n!}$ とすると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1$

したがって、この級数は収束します。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$

比判定法を用います。$a_n = \frac{n}{3^n+1}$ とすると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{3^{n+1}+1} \cdot \frac{3^n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{3^n+1}{3^{n+1}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1+\frac{1}{3^n}}{3+\frac{1}{3^n}} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} < 1$

したがって、この級数は収束します。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!!}{n^n}$

ここで、 $(2n)!! = 2^n n!$ であることを利用します。

$a_n = \frac{2^n n!}{n^n}$

比判定法を用います。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac{2}{e} < 1$ (∵ $e \approx 2.718$)

したがって、この級数は収束します。

(4) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2n}}{(2n)!}$

比判定法を用います。$a_n = \frac{n^{2n}}{(2n)!}$ とすると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n}(n+1)^2}{n^{2n}} \cdot \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2n} \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{2n} \cdot \frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2} = e^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} > 1$ (∵ $e^2 \approx 7.389$)

したがって、この級数は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 収束

(3) 収束

(4) 発散