以下の3つの数列の極限を求めます。 (1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ (2) $a_n = (\frac{n}{n+2})^n$ (3) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$

はい、承知いたしました。与えられた数列の極限を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの数列の極限を求めます。

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

(2) $a_n = (\frac{n}{n+2})^n$

(3) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ の場合：

この数列は、$\infty - \infty$ の不定形です。有理化することで極限を求めやすくします。

$a_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$a_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$

(2) $a_n = (\frac{n}{n+2})^n$ の場合：

$a_n = (\frac{n}{n+2})^n = (\frac{n+2-2}{n+2})^n = (1 - \frac{2}{n+2})^n$

ここで、$m = n+2$ とおくと、$n = m-2$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ です。

$a_n = (1 - \frac{2}{m})^{m-2} = (1 - \frac{2}{m})^m (1 - \frac{2}{m})^{-2}$

$\lim_{m \to \infty} (1 - \frac{2}{m})^m = e^{-2}$ （$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ の公式を利用）

$\lim_{m \to \infty} (1 - \frac{2}{m})^{-2} = (1 - 0)^{-2} = 1$

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{-2} \cdot 1 = e^{-2}$

(3) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ の場合：

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ の公式を利用します。

$x = -1$ を代入すると、$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

(3) $e^{-1} = \frac{1}{e}$