与えられた定積分を計算します。 積分は、0からπまで、$x \cdot \frac{1}{\sin x}$ を $x$ で積分するものです。すなわち、 $\int_0^\pi \frac{x}{\sin x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

積分は、0からπまで、$x \cdot \frac{1}{\sin x}$ を $x$ で積分するものです。すなわち、

$\int_0^\pi \frac{x}{\sin x} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、初等関数では表現できません。

しかし、フーリエ級数展開や特殊関数を用いることで評価できます。

まず、$\frac{1}{\sin x}$ のフーリエ級数展開を考えます。

$\frac{1}{\sin x} = \csc x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}$

この定積分を評価するために、以下の公式を利用します。

$\int_0^\pi \frac{x}{\sin x} dx = 2 \int_0^{\pi/2} x \csc x dx$

これは、積分区間を半分にし、被積分関数の偶関数性（$x \csc x$ は区間 $[0, \pi]$ で $x = \pi/2$ に関して対称）を利用したものです。

次に、$\csc x$ の積分表示を使い、積分順序の交換を試みます。しかし、このアプローチも複雑です。

より簡潔な方法は、以下の積分公式を利用することです。

$\int_0^\pi \frac{x}{\sin x}dx = 2G$

ここで、$G$ は Catalan's constant (カタラン定数) と呼ばれるもので、以下のように定義されます。

$G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$

カタラン定数 $G$ の近似値は $0.915965594...$ です。

3. 最終的な答え

$\int_0^\pi \frac{x}{\sin x} dx = 2G$

ここで、$G$ はカタラン定数です。