関数 $y = \log_3 x$ について、$ \frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3} $ の範囲における $y$ の値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x$ について、$\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ の範囲における $y$ の値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の定義域の範囲における $x$ の最小値と最大値を用いて、$y$ の値を求めます。

- $x = \frac{1}{3}$ のとき:

$y = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$

- $x = 3\sqrt{3}$ のとき:

$y = \log_3 (3\sqrt{3}) = \log_3 (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$

ここで、与えられた条件より、$\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ であるため、$x = \frac{1}{3}$ の時の値は範囲に含まれず、$x = 3\sqrt{3}$ の時の値は範囲に含まれます。また、$y = \log_3 x$ は単調増加関数なので、$x$ が増加すると $y$ も増加します。したがって、値域は $-1 < y \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \le \frac{3}{2}$