関数 $y = \log_2 x$ の定義域が $\frac{1}{4} < x \leq 2\sqrt{2}$ であるとき、この関数の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x$ の定義域が $\frac{1}{4} < x \leq 2\sqrt{2}$ であるとき、この関数の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \log_2 x$ は底が2なので、単調増加関数です。したがって、$x$ の範囲が $\frac{1}{4} < x \leq 2\sqrt{2}$ であるとき、$y$ の範囲も $\log_2(\frac{1}{4}) < y \leq \log_2(2\sqrt{2})$ となります。

次に、$\log_2(\frac{1}{4})$ と $\log_2(2\sqrt{2})$ の値を計算します。

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$ であるから、

$\log_2(\frac{1}{4}) = \log_2(2^{-2}) = -2$

$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ であるから、

$\log_2(2\sqrt{2}) = \log_2(2^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$

したがって、 $-2 < y \leq \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < y \leq \frac{3}{2}$