与えられた積分 $I = \int_{0}^{2} \left( \int_{\sqrt{2y}}^{2} e^{x^2} y dx \right) dy$ に対して、以下の問題を解く。 (1) 積分 $I$ を二重積分 $I = \iint_{D} e^{x^2} y dxdy$ と表すとき、領域 $D$ を図示し、集合の記号で表す。 (2) 累次積分 $I$ の積分順序を変更する。 (3) 累次積分 $I$ を求める。

## 問題3

1. **問題の内容**

与えられた積分 $I = \int_{0}^{2} \left( \int_{\sqrt{2y}}^{2} e^{x^2} y dx \right) dy$ に対して、以下の問題を解く。

(1) 積分 $I$ を二重積分 $I = \iint_{D} e^{x^2} y dxdy$ と表すとき、領域 $D$ を図示し、集合の記号で表す。

(2) 累次積分 $I$ の積分順序を変更する。

(3) 累次積分 $I$ を求める。

2. **解き方の手順**

(1) 領域Dの図示と集合表現

まず、与えられた累次積分から、領域Dを定める不等式を読み取る。

$0 \le y \le 2$

$\sqrt{2y} \le x \le 2$

これらの不等式から、領域Dを図示する。

$x = \sqrt{2y}$ を変形すると、$x^2 = 2y$、つまり $y = \frac{x^2}{2}$となる。したがって、Dは、$y = 0$, $y = 2$, $x = 2$, $y = \frac{x^2}{2}$で囲まれた領域である。

集合の記号では、

$D = \{(x, y) | 0 \le x \le 2, 0 \le y \le \frac{x^2}{2} \}$と表せる。

(2) 積分順序の変更

積分順序を変更するため、領域Dを $x$ を先に積分する形で表現する必要がある。

Dの図から、$x$ の範囲は $0 \le x \le 2$ であり、$y$ の範囲は $0 \le y \le \frac{x^2}{2}$である。

したがって、積分順序を変更した累次積分は次のようになる。

$I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^2} y dy \right) dx$

(3) 累次積分の計算

$I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^2} y dy \right) dx$

まず内側の積分を計算する。

$\int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^2} y dy = e^{x^2} \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} y dy = e^{x^2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\frac{x^2}{2}} = e^{x^2} \frac{(\frac{x^2}{2})^2}{2} = e^{x^2} \frac{x^4}{8}$

次に外側の積分を計算する。

$I = \int_{0}^{2} e^{x^2} \frac{x^4}{8} dx$

ここで、$u = x^2$ とおくと、$du = 2x dx$, $x dx = \frac{1}{2} du$である。さらに、$x^2 = u$より、$x^4 = u^2$。この変数変換は使えない。

別の方法を試す。

$I = \int_{0}^{2} \frac{x^4}{8} e^{x^2} dx$

部分積分を適用することを考える。

$v = x^3$とすると、$dv=3x^2 dx$

$du=\frac{x}{8} e^{x^2}dx$とすると、$u=\frac{1}{16}e^{x^2}$

$I = \frac{1}{16}x^3 e^{x^2} |_0^2 - \frac{3}{16} \int_0^2 x^2 e^{x^2}dx$

この方法では積分が難しくなる。

元の積分に戻って、積分の順序を変えずに解けないか検討する。

$I = \int_{0}^{2} \left( \int_{\sqrt{2y}}^{2} e^{x^2} y dx \right) dy$

(1)より積分領域は$D = \{(x, y) | 0 \le y \le 2, \sqrt{2y} \le x \le 2 \}$

$I = \iint_{D} e^{x^2} y dxdy$

積分順序を変更したものは、

$D = \{(x, y) | 0 \le x \le 2, 0 \le y \le \frac{x^2}{2} \}$

$I = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^2} y dy dx = \int_{0}^{2} e^{x^2} \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{\frac{x^2}{2}} dx = \int_{0}^{2} e^{x^2} \frac{x^4}{8} dx$

ここで部分積分を行う。$u=x^3/8$とすると$du=3x^2/8$。$dv=xe^{x^2}dx$とすると$v=e^{x^2}/2$

$I =[\frac{x^3}{16}e^{x^2}]_0^2-\int_0^2 \frac{3x^2}{16}e^{x^2}dx$

$I=\frac{8}{16}e^4-\frac{3}{16}\int_0^2 x^2 e^{x^2}dx = \frac{e^4}{2}-\frac{3}{16}\int_0^2 x^2 e^{x^2}dx$

$I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^2} y dy \right) dx$

$I = \int_{0}^{2} e^{x^2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\frac{x^2}{2}} dx = \int_{0}^{2} e^{x^2} \frac{x^4}{8} dx$

ここで、$t=x^2$, $dt=2x dx$と置換積分を試みてもうまくいかない。

この問題は初等関数では解けない。

3. **最終的な答え**

(1) $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 2, 0 \le y \le \frac{x^2}{2} \}$

(2) $I = \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\frac{x^2}{2}} e^{x^2} y dy \right) dx$

(3) $I = \int_{0}^{2} e^{x^2} \frac{x^4}{8} dx$ (これ以上簡単には積分できない)