与えられた積分 $\int \sqrt{\frac{3}{5x+2}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{\frac{3}{5x+2}} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、定数部分を積分の外に出す。

$\int \sqrt{\frac{3}{5x+2}} dx = \sqrt{3} \int \frac{1}{\sqrt{5x+2}} dx$

次に、置換積分を行う。$u = 5x+2$ と置くと、$du = 5 dx$ なので、$dx = \frac{1}{5} du$ となる。

$\sqrt{3} \int \frac{1}{\sqrt{5x+2}} dx = \sqrt{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{5} du = \frac{\sqrt{3}}{5} \int u^{-1/2} du$

$u^{-1/2}$ の積分は $\int u^{-1/2} du = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$ となる。

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{5} \int u^{-1/2} du = \frac{\sqrt{3}}{5} (2\sqrt{u}) + C = \frac{2\sqrt{3}}{5} \sqrt{u} + C$

最後に、$u$ を $5x+2$ に戻す。

$\frac{2\sqrt{3}}{5} \sqrt{u} + C = \frac{2\sqrt{3}}{5} \sqrt{5x+2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}}{5} \sqrt{5x+2} + C$