次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2 + 2x} + x$の極限を求めるために、まず式を変形します。

$\sqrt{x^2 + 2x} - x$を分子にかけ、分母にも同じものをかけて有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$x$で割るために、$\sqrt{x^2}$を$x$として扱います($x>0$のとき）。

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} - x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$

ここで、$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$なので、$\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \to \sqrt{1+0} = 1$となります。

よって、分母は$1 - 1 = 0$に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \infty$.

（式の変形が間違っていました。）

もう一度計算します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - (-x))$と考えると、$\infty - (-\infty)$となり、不定形ではないです。

$\sqrt{x^2 + 2x}$を展開して、$x \sqrt{1 + \frac{2}{x}}$にしてから$\sqrt{1 + \frac{2}{x}}$をテイラー展開で近似します。

$\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y$です。

したがって$\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{2}{x} = 1 + \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} x(1 + \frac{1}{x}) + x = \lim_{x \to \infty} 2x + 1 = \infty$

もう一度見直します。最初の式変形で有理化して、$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$から進めます。分母分子をxで割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$

ここで、$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$なので、$\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{(1 + \frac{1}{x}) - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} 2x = \infty$

最終的な答えは$\infty$です。

ただし、最初の式に-xではなく+xがあったため、有理化で式を間違えて変形してしまっていました。

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 2x} + x = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)$

$\lim_{x \to \infty} x(1 + \frac{1}{x} + 1) = \lim_{x \to \infty} x(2 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} (2x + 1) = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$