$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求めるために、まず$\infty - \infty$ の不定形を解消する必要がある。

そのため、有理化を行う。

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x = \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

$= \frac{(4x^2 - 3x + 1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

次に、分子と分母を$x$で割る。ただし、分母の根号内では$x^2$で割ることに注意する。

$\frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

ここで、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$ は $x$ が十分大きいとき、$2x$ に近い値を取るため、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} > 2x$ である。

したがって、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x > 0$ であり、$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$ は0に近づく正の値である。

よって、$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = -\infty$

以上より、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = -\infty$

3. 最終的な答え

$-\infty$