与えられた積分 $\int ye^{3y-5} dy$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int ye^{3y-5} dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分積分を使用します。部分積分の公式は次のとおりです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = y$ と $dv = e^{3y-5} dy$ を選びます。すると、$du = dy$ となり、$v$ は $dv$ の積分であるため、

$v = \int e^{3y-5} dy = \frac{1}{3}e^{3y-5}$

となります。部分積分の公式に代入すると、

$\int ye^{3y-5} dy = y(\frac{1}{3}e^{3y-5}) - \int \frac{1}{3}e^{3y-5} dy$

$= \frac{1}{3}ye^{3y-5} - \frac{1}{3} \int e^{3y-5} dy$

$= \frac{1}{3}ye^{3y-5} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3}e^{3y-5}) + C$

$= \frac{1}{3}ye^{3y-5} - \frac{1}{9}e^{3y-5} + C$

$= \frac{1}{9}e^{3y-5}(3y - 1) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9}e^{3y-5}(3y - 1) + C$