$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$\infty - \infty$ の不定形です。

そのため、まず式を変形して不定形を解消します。

$\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$ に共役な式 $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}$ を掛け、分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x+2) - (x+1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x+2} \to \infty$ および $\sqrt{x+1} \to \infty$ であるから、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} \to \infty$ となります。したがって、分母が無限大に発散し、分子が定数であるため、極限は0に収束します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0$

3. 最終的な答え

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