関数 $f(x) = x \sin x - \cos x$ について、以下の問いに答えよ。ただし、$n$ は自然数とする。 (1) $2n\pi < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$f(x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在することを示せ。 (2) (1) での $f(x) = 0$ となる $x$ の値を $a_n$ とする ($2n\pi < a_n < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$)。このとき、$\lim_{n \to \infty} (a_n - 2n\pi) = 0$ を示せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x \sin x - \cos x$ について、以下の問いに答えよ。ただし、$n$ は自然数とする。

(1) $2n\pi < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$f(x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在することを示せ。

(2) (1) での $f(x) = 0$ となる $x$ の値を $a_n$ とする ($2n\pi < a_n < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$)。このとき、$\lim_{n \to \infty} (a_n - 2n\pi) = 0$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1) 中間値の定理を利用して、$f(x) = 0$ となる $x$ が存在することを示す。次に、$f(x)$ が単調増加であることを示し、ただ一つの解が存在することを示す。

* $f(2n\pi) = 2n\pi \sin(2n\pi) - \cos(2n\pi) = -1 < 0$

* $f(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = (2n\pi + \frac{\pi}{2}) \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) - \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 2n\pi + \frac{\pi}{2} > 0$

$f(x)$ は連続関数であり、$f(2n\pi) < 0$ かつ $f(2n\pi + \frac{\pi}{2}) > 0$ であるから、中間値の定理より、$2n\pi < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ の範囲に $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在する。

次に、$f(x)$ の単調増加性を示す。

$f'(x) = \sin x + x \cos x + \sin x = 2 \sin x + x \cos x$

$2n\pi < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\sin x > 0$ かつ $\cos x > 0$ である。

したがって、$f'(x) = 2 \sin x + x \cos x > 0$ となり、$f(x)$ は単調増加である。

よって、$2n\pi < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$f(x) = 0$ となる $x$ はただ1つ存在する。

(2) $\lim_{n \to \infty} (a_n - 2n\pi) = 0$ を示す。

$a_n$ は $f(x) = 0$ の解であるから、$f(a_n) = a_n \sin a_n - \cos a_n = 0$ が成り立つ。

$a_n = 2n\pi + \delta_n$ とおくと、仮定より $0 < \delta_n < \frac{\pi}{2}$ である。

$\lim_{n \to \infty} \delta_n = 0$ を示すことが目標となる。

$f(a_n) = f(2n\pi + \delta_n) = (2n\pi + \delta_n) \sin (2n\pi + \delta_n) - \cos (2n\pi + \delta_n) = (2n\pi + \delta_n) \sin \delta_n - \cos \delta_n = 0$

$(2n\pi + \delta_n) \sin \delta_n = \cos \delta_n$

$\sin \delta_n = \frac{\cos \delta_n}{2n\pi + \delta_n}$

$0 < \delta_n < \frac{\pi}{2}$ であり、$\cos \delta_n > 0$ であるから、$\sin \delta_n > 0$。

$\delta_n = \arcsin \left( \frac{\cos \delta_n}{2n\pi + \delta_n} \right)$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{\cos \delta_n}{2n\pi + \delta_n} \to 0$ である。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \delta_n = \arcsin(0) = 0$

よって、$\lim_{n \to \infty} (a_n - 2n\pi) = 0$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $2n\pi < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$f(x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在する。

(2) $\lim_{n \to \infty} (a_n - 2n\pi) = 0$