関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = xe^{-2x}$ を微分します。これは、積の微分法を使う必要があります。積の微分法は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられるというものです。

この場合、$u(x) = x$ と $v(x) = e^{-2x}$ とします。

まず、$u(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v(x)$ の微分を計算します。これは合成関数の微分になるので、$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-2x}) = e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(-2x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$

これで、$u'(x)$ と $v'(x)$ がわかったので、積の微分法を適用します。

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (1)(e^{-2x}) + (x)(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x}$

$e^{-2x}$ でくくると、

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$