$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ に対して、関数 $y = (x^2+1)a^x$ の導関数 $y'$ を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ に対して、関数 $y = (x^2+1)a^x$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分公式を利用する。

$y = uv$ のとき、 $y' = u'v + uv'$ である。

ここでは、$u = x^2+1$、$v = a^x$ とおく。

まず、$u = x^2+1$ の導関数 $u'$ を求める。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x$

次に、$v = a^x$ の導関数 $v'$ を求める。

$v' = \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$

積の微分公式 $y' = u'v + uv'$ に代入する。

$y' = (2x)a^x + (x^2+1)(a^x \ln a)$

$a^x$ でくくると、

$y' = a^x(2x + (x^2+1)\ln a)$

$y' = a^x(2x + x^2\ln a + \ln a)$

3. 最終的な答え

$y' = a^x(x^2 \ln a + 2x + \ln a)$