関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求める。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

ここで、$u = x^2 + 1$ 、$v = 5^{x^3}$ とおく。

まず、$u$ の導関数 $u'$ を求める。

$u = x^2 + 1$ より、

$u' = 2x$

次に、$v = 5^{x^3}$ の導関数 $v'$ を求める。

合成関数の微分公式を用いる。

$w = x^3$ とおくと、$v = 5^w$

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{dv}{dw} = 5^w \ln 5$

$\frac{dw}{dx} = 3x^2$

よって、

$v' = \frac{dv}{dx} = 5^{x^3} \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 (\ln 5) 5^{x^3}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ に、$u, u', v, v'$ を代入する。

$y' = (x^2 + 1)' 5^{x^3} + (x^2 + 1) (5^{x^3})'$

$y' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 (\ln 5) 5^{x^3}$

$y' = 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2 + 1)(\ln 5) 5^{x^3}$

$y' = 5^{x^3}[2x + 3x^2(x^2 + 1) \ln 5]$

$y' = x 5^{x^3} [2 + 3x(x^2 + 1) \ln 5]$

$y' = x 5^{x^3} [2 + (3x^3 + 3x) \ln 5]$

3. 最終的な答え

$y' = x 5^{x^3} [2 + (3x^3 + 3x) \ln 5]$

あるいは

$y' = x 5^{x^3} [2 + 3x(x^2 + 1) \ln 5]$

あるいは

$y' = 5^{x^3}[2x + 3x^2(x^2 + 1) \ln 5]$