$a > 0$, $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = (x^2 + 1)a^x$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$, $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = (x^2 + 1)a^x$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで、$u = x^2 + 1$、$v = a^x$ とおきます。

まず、$u = x^2 + 1$ の導関数 $u'$ を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

次に、$v = a^x$ の導関数 $v'$ を求めます。指数関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ を用います。

$v' = \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ に、$u$, $v$, $u'$, $v'$ を代入します。

$y' = (x^2 + 1)'a^x + (x^2 + 1)(a^x)'$

$y' = (2x)a^x + (x^2 + 1)a^x \ln a$

$y' = a^x [2x + (x^2 + 1) \ln a]$

3. 最終的な答え

$y' = a^x[2x + (x^2 + 1)\ln a]$