関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

ここで、$u = e^x$ および $v = \sin x$ とします。

それぞれの微分は次のようになります。

$$u' = \frac{d}{dx} e^x = e^x$$

$$v' = \frac{d}{dx} \sin x = \cos x$$

商の微分公式に代入すると、

$$y' = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$$

3. 最終的な答え

$$y' = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$$