関数 $y = xe^{x^2}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{x^2}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで、$u = x$、$v = e^{x^2}$ とおきます。

まず、$u = x$ の微分は $u' = 1$ です。

次に、$v = e^{x^2}$ の微分を求めます。合成関数の微分法を用います。$w = x^2$ とおくと、$v = e^w$ となります。すると、$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$ です。

$\frac{dv}{dw} = e^w = e^{x^2}$ であり、$\frac{dw}{dx} = 2x$ であるから、

$$$$

v' = \frac{dv}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}

$$$$

となります。

したがって、積の微分公式より、

$$$$

y' = (xe^{x^2})' = (x)'e^{x^2} + x(e^{x^2})' = 1 \cdot e^{x^2} + x \cdot 2xe^{x^2} = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2}

$$$$

これを整理すると、

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y' = e^{x^2}(1 + 2x^2)

$$$$

3. 最終的な答え

$y' = (2x^2+1)e^{x^2}$