関数 $y = e^{-x} \sin 3x$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x} \sin 3x$ を微分してください。

2. 解き方の手順

この関数は積の形をしているため、積の微分法則を使います。積の微分法則は、二つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積 $u(x)v(x)$ の微分が $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = e^{-x}$ および $v(x) = \sin 3x$ とします。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}$

$v'(x) = (\sin 3x)' = 3 \cos 3x$

次に、積の微分法則に従って、$y$ を微分します。

$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$y' = (-e^{-x})(\sin 3x) + (e^{-x})(3 \cos 3x)$

$y' = -e^{-x} \sin 3x + 3 e^{-x} \cos 3x$

$e^{-x}$ をくくり出すと、

$y' = e^{-x} (3 \cos 3x - \sin 3x)$

3. 最終的な答え

$y' = e^{-x}(3 \cos 3x - \sin 3x)$