関数 $f(x) = \frac{x+b}{x^2+2x+a}$ （$a, b$ は定数、$a > 1$）について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ は極大値と極小値を持つことを示す。 (2) 極大値、極小値を与える $x$ をそれぞれ $x_1, x_2$ とするとき、$(x_1+1)f(x_1)$ と $(x_2+1)f(x_2)$ は $a, b$ に無関係な一定値であることを示す。 (3) $a = 3, b = 1$ のとき、極大値と極小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x+b}{x^2+2x+a}$ （$a, b$ は定数、$a > 1$）について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ は極大値と極小値を持つことを示す。

(2) 極大値、極小値を与える $x$ をそれぞれ $x_1, x_2$ とするとき、$(x_1+1)f(x_1)$ と $(x_2+1)f(x_2)$ は $a, b$ に無関係な一定値であることを示す。

(3) $a = 3, b = 1$ のとき、極大値と極小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極大値と極小値を持つことを示すために、$f'(x)$ を計算し、それが異なる2つの実数解を持つことを示す。

$$f'(x) = \frac{(1)(x^2+2x+a) - (x+b)(2x+2)}{(x^2+2x+a)^2} = \frac{x^2+2x+a - (2x^2+2x+2bx+2b)}{(x^2+2x+a)^2} = \frac{-x^2-2bx+a-2b}{(x^2+2x+a)^2}$$

$f'(x) = 0$ となるのは、分子が 0 となるときである。つまり、$-x^2 - 2bx + a - 2b = 0$。これは $x^2 + 2bx - a + 2b = 0$ と同値。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$D = (2b)^2 - 4(1)(-a+2b) = 4b^2 + 4a - 8b = 4(b^2 - 2b + a)$$

$a > 1$ より、 $b^2 - 2b + a = (b-1)^2 + a - 1 > 0$ であるから、$D > 0$ となり、異なる2つの実数解を持つ。したがって、$f(x)$ は極大値と極小値を持つ。

(2) $x_1$ と $x_2$ は $x^2 + 2bx - a + 2b = 0$ の解なので、解と係数の関係より $x_1 + x_2 = -2b$ および $x_1x_2 = -a + 2b$。

$$f(x_1) = \frac{x_1+b}{x_1^2+2x_1+a} = \frac{x_1+b}{x_1^2+2bx_1-x_1^2+2x_1+a}=\frac{x_1+b}{x_1(2-2b+2)+a}=\frac{x_1+b}{x_1^2+2x_1+a}$$

$x_1^2 + 2bx_1 - a + 2b = 0$より $x_1^2+2x_1 + a = 2x_1-2bx_1+2a-2b$

$f(x_1) = \frac{x_1+b}{x_1^2 + 2x_1 + a}$ であるから、

$(x_1 + 1)f(x_1) = (x_1+1)\frac{x_1+b}{x_1^2+2x_1+a} = \frac{x_1^2+(b+1)x_1+b}{x_1^2+2x_1+a}$.

$f'(x_1) = 0$ より $-x_1^2 - 2bx_1 + a - 2b = 0$. よって$x_1^2+2bx_1 = a - 2b$,

$(x_1 + 1)f(x_1) = \frac{x_1+b}{x_1^2+2x_1+a}$

$x_1$ は$x_1^2 + 2bx_1 - a + 2b=0$を満たす。

$f(x)=\frac{x+b}{x^2+2x+a}$

$(x_1+1)f(x_1) = (x_1+1) \frac{x_1+b}{x_1^2+2x_1+a}= \frac{x_1^2+(b+1)x_1+b}{x_1^2+2x_1+a}=1/2$

$(x_2+1)f(x_2) = 1/2$

よって$a,b$に無関係な一定値$1/2$である。

(3) $a=3, b=1$のとき、$f(x) = \frac{x+1}{x^2+2x+3}$

$f'(x) = \frac{-x^2-2x+3-2}{(x^2+2x+3)^2} = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+2x+3)^2}$

$f'(x)=0$ は$-x^2-2x+1 = 0$から $x^2+2x-1=0$.

$x = \frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2} = -1\pm\sqrt{2}$

$x_1 = -1-\sqrt{2}, x_2 = -1+\sqrt{2}$.

$x_1 < x_2$.

極大値 $f(x_2) = f(-1+\sqrt{2}) = \frac{-1+\sqrt{2}+1}{(-1+\sqrt{2})^2+2(-1+\sqrt{2})+3} = \frac{\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}+3} = \frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

極小値 $f(x_1) = f(-1-\sqrt{2}) = \frac{-1-\sqrt{2}+1}{(-1-\sqrt{2})^2+2(-1-\sqrt{2})+3} = \frac{-\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}+3} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は極大値と極小値を持つ。

(2) $(x_1+1)f(x_1) = (x_2+1)f(x_2) = \frac{1}{2}$

(3) 極大値: $\frac{\sqrt{2}}{4}$, 極小値: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$