20人のゲームの得点をまとめた表があり、各得点とその人数が与えられています。得点の平均点が2.2点、最頻値が3点のとき、0以上の整数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

20人のゲームの得点をまとめた表があり、各得点とその人数が与えられています。得点の平均点が2.2点、最頻値が3点のとき、0以上の整数 $a$, $b$, $c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、人数の合計が20人であることから、次の式が得られます。

$5 + a + 2 + b + c + 3 = 20$

これを整理すると、

$a + b + c = 10$

次に、得点の平均点が2.2点であることから、次の式が得られます。

$\frac{0 \times 5 + 1 \times a + 2 \times 2 + 3 \times b + 4 \times c + 5 \times 3}{20} = 2.2$

これを整理すると、

$a + 3b + 4c + 19 = 44$

さらに整理すると、

$a + 3b + 4c = 25$

最頻値が3であることから、$b$ の値は、5, $a$, 2, $c$, 3 の中で最大です。つまり、$b > 5$, $b > a$, $b > 2$, $b > c$, $b > 3$ です。

$a + b + c = 10$ より、$a = 10 - b - c$。

これを $a + 3b + 4c = 25$ に代入すると、

$(10 - b - c) + 3b + 4c = 25$

$2b + 3c = 15$

$2b = 15 - 3c = 3(5-c)$

$b = \frac{3(5-c)}{2}$

$c$ は0以上の整数なので、$b$ が整数となるためには $5-c$ が偶数でなければなりません。

つまり、$c$ は奇数です。

また、$b>5$である必要があるので、 $b=\frac{3(5-c)}{2}>5$　より、$5-c > \frac{10}{3}$となり、$c < 5-\frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

$c$ は奇数なので、$c = 1$ しかありえません。

$c = 1$ を $2b + 3c = 15$ に代入すると、

$2b + 3(1) = 15$

$2b = 12$

$b = 6$

$a + b + c = 10$ に $b = 6$ と $c = 1$ を代入すると、

$a + 6 + 1 = 10$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 6$

$c = 1$