(1) $\sqrt{14}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $\frac{1}{b}$ の整数部分を $c$, 小数部分を $d$ とするとき、$c$ と $d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{14}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $\frac{1}{b}$ の整数部分を $c$, 小数部分を $d$ とするとき、$c$ と $d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{14}$ の整数部分を求める。

$3^2 = 9$ であり、$4^2 = 16$ であるから、$3 < \sqrt{14} < 4$ である。

したがって、$\sqrt{14}$ の整数部分は $a=3$ である。

小数部分は $b = \sqrt{14} - a = \sqrt{14} - 3$ である。

(2) $\frac{1}{b}$ の値を計算する。

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{14} - 3}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{14} + 3$ を掛ける。

$\frac{1}{\sqrt{14} - 3} = \frac{\sqrt{14} + 3}{(\sqrt{14} - 3)(\sqrt{14} + 3)} = \frac{\sqrt{14} + 3}{14 - 9} = \frac{\sqrt{14} + 3}{5}$

$\frac{\sqrt{14} + 3}{5}$ の整数部分を求める。

$3 < \sqrt{14} < 4$ より、$3+3 < \sqrt{14} + 3 < 4+3$

$6 < \sqrt{14} + 3 < 7$

$\frac{6}{5} < \frac{\sqrt{14} + 3}{5} < \frac{7}{5}$

$1.2 < \frac{\sqrt{14} + 3}{5} < 1.4$

$\frac{\sqrt{14} + 3}{5}$ の整数部分は $c=1$ である。

小数部分は $d = \frac{\sqrt{14} + 3}{5} - c = \frac{\sqrt{14} + 3}{5} - 1 = \frac{\sqrt{14} + 3 - 5}{5} = \frac{\sqrt{14} - 2}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = \sqrt{14} - 3$

(2) $c = 1$, $d = \frac{\sqrt{14} - 2}{5}$