4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \ge b > c > d$

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0. 4桁の自然数の個数

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \ge b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字で、大きい順に並んでいる。$a$ は千の位なので0ではなく、$d$ は一の位なので9以下である。

10個の数字 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) の中から異なる4つの数字を選ぶと、その並び方は大きい順に一通りに決まる。したがって、そのような4つの数字の選び方の総数が求める個数になる。

これは組み合わせの問題なので、$_{10}C_4$ で計算できる。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a \ge b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は整数で、$a \ge b > c > d$を満たします。

$a, b, c, d$は、$a \ge b$ なので、$a=b$の可能性があり、$b > c > d$ という条件を満たさなければなりません。

$a \ge b > c > d$ を満たす整数の組の数を考えます。

$a,b,c,d$は整数なので、$0 \le d < c < b \le a \le 9$ を満たします。

ここで、$a \ge b$ なので、$a=b$の場合と$a>b$の場合があります。

ここで、$x=a+1$ と定義すると、$0 \le d < c < b \le a < x \le 10$ となります。

$d, c, b, x$ は異なる整数なので、10個の整数 (0から9) の中から4つの整数を選ぶ組み合わせの数と同じです。

しかし、$b = a$ の場合を考慮すると、計算が複雑になります。

そこで、$a' = a+1$として、$a \ge b > c > d$を$a'>b>c>d$に変形することで、すべての変数が厳密な不等号で結ばれるようにします。ただし、$a$の最大値は9なので、$a'$の最大値は10になります。つまり、$a' \le 10$です。

ここで、新しい変数$a'$を用いて、元の条件を、$10個の数字の中から、$a', b, c, d$を選ぶことと考えることができます。

$a'$は、$b$より大きい必要があるため、最小値は1です。

$a' \le 10$ なので、10個の異なる数字から4つの数字を選ぶことになります。

ただし、注意しなければならないのは、$a'$は最大10まで取り得るということです。

この条件下で、$10$個の数字から$4$個選ぶ組み合わせを考えます。

$10$個の数字から$4$個選ぶ組み合わせは$_{10}C_4 = 210$通りです。

しかし、$a>b>c>d$の場合（すでに求めた$210$通り）に、$a=b$となる場合を足し合わせる必要があります。

そこで、$e = b$とおき、$a\ge b > c > d$を満たすものを、$a' > b > c > d$で考えます。

$b>c>d$となるように$b, c, d$を選ぶと、これは$c < b \le 9$なので、0~9の10個の数字から3つを選びます。これは$_{10}C_3=120$通りです。

次に$a'>b$となるように$a'$を選ぶと、$a'$は$b+1$から$10$までの値を取りえます。

そこで、$10$個の数字の中から、$b,c,d$を選び、$a'$は$b$以上という条件で決めます。

この問題は、重複組み合わせを使うことで解決できます。$0 \le d < c < b \le a \le 9$を満たす整数の組み合わせを求める問題なので、$a \ge b > c > d$を満たす組み合わせの総数は、$_{10+4-1}C_{4} = _{13}C_4 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 5 \times 11 = 715$

しかし、$a' \le 10$なので、この解き方は間違っています。

正しい解き方は、$a \ge b > c > d$ なので、$b, c, d$ の範囲が $0 \le d < c < b \le 9$ となります。

$b = c+1$ となる可能性があるので、$a \ge c+1 > c > d$ となります。

$a, b, c, d$ からなる集合は重複を許さないので、$a, b, c, d$ からなる集合から重複を許して4個選ぶ重複組み合わせとなります。

$a \ge b > c > d$ という条件から、$a = b$となるケースを考慮する必要があります。

求めるものは $_{10}H_4 = _{10+4-1}C_4 = _{13}C_4 = 715$

3. 最終的な答え

(1) 210 個

(2) 715 個