自然数 $a$ と $12$ の最小公倍数が $180$ であるとき、$a$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $a$ と $12$ の最小公倍数が $180$ であるとき、$a$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$12$ と $180$ を素因数分解します。

$12 = 2^2 \times 3$

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$a$ を素因数分解したものを $a = 2^x \times 3^y \times 5^z$ とおきます。ここで、$x, y, z$ は $0$ 以上の整数です。

$a$ と $12$ の最小公倍数が $180$ であることから、以下の条件が成り立ちます。

* $max(x, 2) = 2$

* $max(y, 1) = 2$

* $max(z, 0) = 1$

これらの条件を満たす $x, y, z$ の値を考えます。

$max(x, 2) = 2$ より、$x$ は $0, 1, 2$ のいずれかです。

$max(y, 1) = 2$ より、$y = 2$ です。

$max(z, 0) = 1$ より、$z = 1$ です。

したがって、$a = 2^x \times 3^2 \times 5^1$ となり、$x$ は $0, 1, 2$ のいずれかの値をとります。

$x = 0$ のとき、$a = 2^0 \times 3^2 \times 5^1 = 1 \times 9 \times 5 = 45$

$x = 1$ のとき、$a = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90$

$x = 2$ のとき、$a = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180$

3. 最終的な答え

$a = 45, 90, 180$