与えられたデータ $2, 8, 1, 9, 4, a$ について、以下の2つの条件を満たす $a$ の値を求めます。 (1) データの平均値が7である。 (2) データの平均値と中央値が等しくなる。

1. 問題の内容

与えられたデータ $2, 8, 1, 9, 4, a$ について、以下の2つの条件を満たす $a$ の値を求めます。

(1) データの平均値が7である。

(2) データの平均値と中央値が等しくなる。

2. 解き方の手順

(1) 平均値が7であることから $a$ を求めます。データの総和をデータの数で割ったものが平均値なので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{2+8+1+9+4+a}{6} = 7$

これを解くと、

$24+a = 42$

$a = 42 - 24$

$a = 18$

(2) 平均値と中央値が等しくなるような $a$ を求めます。

まず、データ $2, 8, 1, 9, 4$ を小さい順に並べると、$1, 2, 4, 8, 9$ となります。

このデータに $a$ を加えた6つのデータの並び替えを考えます。中央値はデータを小さい順に並べたときの中央の値（データの数が偶数の場合は中央2つの値の平均）なので、$a$ の値によって中央値が変わります。平均値と中央値が等しくなるためには、平均値が7である必要があります。

データは$1, 2, 4, 8, 9, a$。

平均値は7より、

$1+2+4+8+9+a = 7\times6 = 42$

$24 + a = 42$

$a=18$

データを小さい順に並び替える場合、

a) $a \le 4$のとき、$1, 2, a, 4, 8, 9$ となり、中央値は $(a+4)/2$。

平均値と中央値が等しいとき、$7=(a+4)/2$。

$14 = a+4$

$a=10$。これは $a \le 4$ を満たさないので不適。

b) $4 < a < 8$のとき、$1, 2, 4, a, 8, 9$ となり、中央値は $(4+a)/2$。

平均値と中央値が等しいとき、$7=(4+a)/2$。

$14=4+a$

$a=10$。これも $4 < a < 8$ を満たさないので不適。

c) $a \ge 8$のとき、$1, 2, 4, 8, a, 9$ あるいは $1, 2, 4, 8, 9, a$ となり、中央値は $(4+8)/2=6$ あるいは $(4+8)/2=6$。

このとき中央値は6。

平均値7と中央値6が等しくないので不適。

あるいは、a=18の場合、データは$1,2,4,8,9,18$ となり、中央値は $(4+8)/2 = 6$、平均値は7となり、等しくないので不適。

データの数を考えると、$a$ が入る場所は次の6通り。

$a, 1, 2, 4, 8, 9$ の場合、中央値は $(1+2)/2 = 1.5$

$1, a, 2, 4, 8, 9$ の場合、中央値は $(a+2)/2$

$1, 2, a, 4, 8, 9$ の場合、中央値は $(a+4)/2$

$1, 2, 4, a, 8, 9$ の場合、中央値は $(a+4)/2$

$1, 2, 4, 8, a, 9$ の場合、中央値は $(4+8)/2 = 6$

$1, 2, 4, 8, 9, a$ の場合、中央値は $(4+8)/2 = 6$

中央値が7になる場合は、$(a+2)/2=7$, $(a+4)/2=7$ の場合を調べる。

$(a+2)/2=7$ の場合、 $a=12$。

$(a+4)/2=7$ の場合、$a=10$。

3. 最終的な答え

(1) 平均値が7となる $a$ の値は $18$ です。

(2) 平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値は $10$と$12$です。